Distribuciones Muestrales

La distribución muestral es la frecuencia de un estadístico muestral que se obtiene de todos los posibles valores calculados a partir de muestras del mismo tamaño extraídas al azar de la misma población. Las distribuciones muestrales son importantes para comprender la inferencia estadística, recordando que ésta es la que permite realizar conclusiones acerca de las poblaciones por medio de muestras representativas. Para lograr entender la experimentación en estadística, sobre todo dentro de la descriptiva, es importante mencionar que la probabilidad es la base del estudio de la estadística, ya que se interesa por estudiar las muestras de la población.

Para construir una distribución muestral se requiere:

1. Población de tamaño finito, donde es posible extraer las muestras.
2. Calcular el estadístico de interés
3. Enlistar los valores observados de la estadística.

En forma general, las distribuciones muestrales son un apoyo para conocer la media y la varianza.

Muestreo aleatorio simple 

Antes de poder dar una definición del muestreo aleatorio simple es importante conocer que la muestra probabilística es cuando cada uno de los elementos o miembros de una población tiene exactamente la misma probabilidad de pertenecer a la muestra.

Cuando se menciona el concepto de muestra aleatoria simple, se define que cada una de las muestras pertenecientes a la población tiene exactamente la misma probabilidad de ser seleccionada. Hay dos diferentes tipos de muestreo: con reemplazo y sin reemplazo. En primer caso, cada miembro de la población está disponible para la extracción; por ejemplo, cuando se realiza alguna auditoria de ISO-9000 los auditores seleccionan al azar algunos trabajadores y al término de las preguntas que se les realizan, regresan a la población, estando nuevamente disponibles para otra extracción. El segundo caso, se ocupa más en la práctica y se define que cuando algún miembro de la población es extraído para la muestra, ya no vuelve a estar disponible para otra extracción; por ejemplo las degustaciones de algún producto nuevo de comida en los centros comerciales, una vez que un individuo se extrae una muestra, ya no puede conformar parte de una nueva extracción.

Distribución de la media de la muestra

Pueden existir dos casos de muestreo: el primero, que pueda partir de una distribución normal y el segundo, a partir de una población que no tiene distribución normal.

En estadística, se considera que una muestra es grande, cuando es mayor de 30 elementos o contiene más de 5% de las observaciones en la población; sin embargo, con la aplicación del teorema del límite central se corrige, porque la distribución de muestreo de la media será aproximadamente normal.

Entonces, modificando la fórmula de Z, se obtiene la fórmula de la distribución normal de la muestra en la distribución normal unitaria, quedando:

Ejemplo: supóngase que las calificaciones de los alumnos de una prueba diagnóstica están distribuidas de forma casi normal con una media de 185.6 y una desviación estándar de 12.7, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 10 de esta población, tenga una calificación media mayor a 190? Se aplica el teorema del límite central porque aunque la muestra es menor a 30, tiene una distribución no normal, entonces es aplicable el teorema.

Distribución de la diferencia entre las medias de dos muestras

Suele haber casos en los que existe interés en calcular la diferencia entre las medias de dos poblaciones; incluso se puede darse el caso de que al existir dos medias diferentes, exista interés por saber cuánto difieren éstas. Este cálculo se puede realizar por medio de la siguiente fórmula:

Ejemplo: supóngase que hay dos grupos de personas que empacan el producto de venta de una empresa; el primero, lo hace en promedio en 45 min, con una desviación estándar de 15 min, y el segundo lo hace en 30 min, con una desviación estándar de 20 min. Si un trabajador seleccionado al azar del primer grupo empaca 35 productos y un trabajador seleccionado al azar del segundo grupo empaca 40, ¿cuál es la probabilidad de que la duración media del empaque difiera entre los dos grupos por más de 20 min?

Distribución de la proporción de la muestra

Cuando se quiere calcular la probabilidad de la proporción de una muestra se emplea la siguiente fórmula:

Ejemplo: supóngase que el promedio de personas que realizan estudios de nivel medio superior en una comunidad de alta marginación económica, es de 8%. Si se seleccionan al azar 150 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de alta marginación sea mayor a 10%?

Distribución de la diferencia entre las proporciones de dos muestras

En ocasiones no sólo se tiene interés por conocer la probabilidad de una sola muestra si no de dos, por tanto se debe calcular la probabilidad de la diferencia en las proporciones de dos muestras independientes extraídas de cada una de las poblaciones; para ello se emplea la siguiente fórmula:

Ejemplo: supóngase que la proporción de personas que compran discos compactos pirata de una población grupo 1, es 0.50, mientras que en la otra población, grupo 2, la proporción es 0.33. ¿Cuál es la probabilidad de que muestras de 100 individuos, extraídas de cada una de las poblaciones, tengan una diferencia entre las proporciones de muestras tan grande como 0.30?