Calidad–Graficas de Control

· GRÁFICAS DE CONTROL.
5.1 DEFINICIÓN Y TIPOS DE INSPECCIÓN.
5.1.1 Medidas de Tendencia Central.
a) Promedio Aritmético (Media Aritmética). Definido como la suma de las observaciones dividida entre el total de observaciones:
* Para N observaciones no agrupadas en tabla de frecuencias:

* Para N observaciones agrupadas en
una tabla de frecuencias con k clases:

b) Moda: Es la observación de mayor frecuencia.
c) Mediana: Es el punto en la escala de observaciones en el cual hay áreas iguales bajo el histograma (es el 50avo percentil, P₅₀).
La mediana es la observación de en medio (si el número de observaciones es impar); y si el número de observaciones es par, es el promedio de las dos observaciones centrales.
5.1.2 Medidas de Dispersión.
a) Varianza (s²) nos indica qué tan dispersas se encuentran las observaciones del promedio; entre más se alejan las observaciones del promedio, mayor valor toma esta medida:
* Para N observaciones no agrupadas en tabla de frecuencias:
=
* Para N observaciones agrupadas en una tabla de frecuencias con k clases:
=
b) Desviación estándar (s): Raíz cuadrada de la varianza:

c) Rango (R). Distancia entre la observación más pequeña y la más grande:
R = x_máx - x_mín
d) Etc.
5.1.3 Población y Muestra.
Población o Universo. Cualquier conjunto de objetos teniendo alguna característica común, usualmente definida por el investigador.
Muestra. Un subconjunto tomado de la población.
Muestra Aleatoria (al azar). Es una muestra tomada de la población en la cual cada objeto tiene la misma probabilidad de ser escogido:
1. Con reemplazamiento. Si antes de tomar la siguiente observación, la anterior se regresa.
2. Sin reemplazamiento.
5.1.4. GRAFICAS DE CONTROL.
La calidad de los productos manufacturados puede ser expresada en dos maneras diferentes: mediante variables y mediante atributos. Cuando la calidad es expresada mediante una medida real, se dice que es expresada mediante una variable, tal como dimensión en pulgadas y peso en libras. Cuando la calidad es expresada, ya sea porque lleva o no los requerimientos especificados, bueno o malo, aceptado o rechazado, defectuoso o no, la calidad se dice que se expresa mediante un atributo, tal como una pieza de vidrio agrietada se considera como mala o defectuosa y una no agrietada como buena o no defectuosa.
5.1.5 Descripción de una gráfica de control.
Una (variables) y otra (atributos) son similares.
Partes principales. Son 4:
1. Escala de calidad. Es vertical.
2. Marcas de las muestras. Por puntos o cruces (son muestras, no elementos).
3. Números correspondientes a las muestras.
Son numeradas individual y consecutivamente en la línea horizontal.
En la gráfica por variables, el tamaño de las muestras generalmente es de 4 ó 5 elementos cada una; en las de atributos, el tamaño de las muestras deberá ser cuando menos de 100 elementos de acuerdo a la teoría de muestreo.
4. Tres líneas horizontales.
a. Una línea central continua. Calidad promedio de las muestras.
b. La línea arriba de la línea central muestra EL LIMITE DE CONTROL SUPERIOR (UCL ó LCS).
c. La línea por debajo de la línea central muestra EL LIMITE DE CONTROL INFERIOR (LCL ó LCI).
Las dos últimas líneas usualmente se representan mediante líneas punteadas.
5.1.6. USO DE UNA GRÁFICA DE CONTROL.
La gráfica proporciona básicamente 3 clases importantes de información:
1. La variación de calidad de las muestras.
2. Proceso bajo control o fuera de control.
3. El nivel de calidad promedio.
5.1.7 TIPOS DE INSPECCIÓN.
Los tipos de inspección más usados son:
a) Reducida o truncada.
b) Normal
c) Rigurosa o estricta.



5.2 GRÁFICAS POR VARIABLES.

Los tipos más comunes son:
- Las gráficas de (promedio de los elementos de una muestra).
- Las gráficas R (recorrido de los elementos de una muestra).
- Las gráficas s (desviación estándar de una muestra).

5.2.1 GRAFICA DE (= media de una muestra). (Pág. 456, Stephen Shao)
EJEMPLO 1. (pág. 456, Shao)
Las medidas individuales, hechas en 5 muestras de cuatro elementos, tomadas al azar de un proceso manufacturero, figuran en las columnas de la tabla 1. a) Calcular los límites de control superior e inferior de la grafica de , usando la fórmula UCL= + 3s y , donde 3s = 3 s = la desviación estándar del proceso (población).
Cuando s es estimada por ŝ, σse vuelve s
Entonces:
UCL= + 3 y LCL - 3 ,
b) Construir la gráfica de .
Solución:
a) Los valores requeridos para calcular los límites de control se muestran en las columnas (3), (4) y (5) de la tabla 1. Los cálculos están dados más abajo.
Tabla 1.
Cálculo de los límites de control (ejemplo 1) (unidad de medida: 0.001 pulgadas en exceso de 0.600 pulgadas, por lo tanto, 12 representa 0.612 pulgadas).

(1) Muestra Número	(2) Medida de cada elemento en una muestra, x.	(3) S x	(4)	(5) s2
1°	2°	3°	4°
1 2 3 4 5	12 5 3 20 4	14 9 13 18 5	16 8 5 18 1	6 10 7 16 10	48 32 28 72 20	12 8 7 18 5	14.0 3.5 14.0 2.0 10.5
Total					200	50	44.0

1. La media de cada muestra, . El cálculo de cada aparece en las columnas (3) y (4). Por ejemplo, la para la primera muestra es 12, o

2. La media de las medias muestrales, . La suma de las 5 medias muestrales (S) es también obtenida de la columna (4),

Nota: Puede calcularse también del total de todos los elementos, o

3. Límites de control superior e inferior. Primero, calcular s² para cada muestra. El valor de s² para la primera muestra, por ejemplo, se calcula enseguida:
Tabla 2. Cálculo de s² para la tabla 1.

x	()	x2
12 14 16 6	0 2 4 -6	0 4 16 36
S=48	0	56

Para datos no agrupados (pág. 257 Stephen Shao):



Enseguida, calcular s de los valores de s² de la columna (5). El promedio de las cinco varianzas muestrales es:
= = , y s =
Los límites de control, basados en la fórmula LC = , son:

UCL

LCL


Nótese que los valores en los cálculos de arriba se expresan en unidades de 0.001 pulgadas en exceso de 0.600 pulgadas. El valor real para UCLes, por lo tanto, 0.61513pulgadas y aquél para el LCL es 0.60487 pulgadas.

Nº de muestra (c/u de 4 elementos)
b) En la gráfica se observa que la muestra número 4 (ó 18) está arriba del límite de control 15.13. Por tanto, el proceso está fuera de control. La causa asignable de este proceso deberá ser descubierta y corregida inmediatamente. Una nueva gráfica de control es necesaria para controlar el proceso en el futuro.
- USO DEL PROMEDIO DE RECORRIDOS MUESTRALES, .

Éste método simplifica el cálculo de límites de control. Es especialmente útil cuando el número de muestras y el tamaño de cada muestra son grados. El símbolo representa la media de los recorridos de las muestras a ser incluidos en la gráfica. Cuando se usa este método, los límites de control suelen ser escritos:
UCL y LCL
es un factor del límite de control. Los valores de para tamaños seleccionados de muestras (n = 2 a 20) aparecen en tablas. El ejemplo 2 ilustra este método.
Ejemplo 2. Una compañía de productos alimenticios enlata jugo de naranja y se advierte que las latas contienen 10 onzas del jugo. Se tomaron 25 muestras al azar de 4 latas cada una, a intervalo de 20 min., y se obtuvieron los pesos del jugo de las latas inmediata , después de ser elevadas. Las muestras están tabuladas en las columnas (1) y (2) de la tabla 3. Los pesos en la tabla están dados en unidades 0.01oz. en exceso de 10 oz. Por ejemplo, el peso del jugo obtenido de la primera lata de la primera muestra es 10.12oz. el cual, con respecto a 10oz, tiene un exceso de .12oz (ó 10.12-10=0.12). Puesto que la unidad en la tabla es de 0.01oz, el exceso se registra en la tabla como 12 unidades. Construir una gráfica de para controlar los pesos del jugo de naranja para el llenado.

Solución. Los valores requeridos para construir la gráfica de se muestra en las columnas (3) y (4) y se calculan como sigue:
1. La media de cada muestra, . El cálculo de cada se muestra en la columna (3). Por ejemplo, la para la primera muestra es 19.75, ó

2. La media de las medias muestrales, . La suma de 25 medias muestrales () se obtiene de la columna (3).

3. Límites de control superior e inferior. El valor de se calcula de los valores de R que figuran en la columna (4). Por ejemplo, el valor de R para la primera muestra se calcula como sigue:
R = 26-12 = 14
Tabla 3.
Peso de jugo de naranja de 25 muestras *(El peso de cada lata está expresado en unidades de 0.01oz. En exceso de 10oz.) con cálculos para la gráfica de y Gráfica de R .

(1) Muestra número	(2) Peso de cada lata (4 latas en cada muestra, n = 4) x	(3)	(4) Recorrido de la muestra, R
Peso total de 4 latas	Media de la muestra,
1	12	19	22	26	79	19.75	14
2	24	6	18	16	64	16.00	18
3	7	10	17	23	57	14.25	16
4	16	23	28	13	80	20.00	15
5	20	14	19	8	61	15.25	12
6	18	24	16	15	73	18.25	9
7	24	3	12	21	60	15.00	21
8	25	14	12	19	69	17.25	13
9	12	23	17	16	68	17.00	11
10	14	21	23	14	72	18.00	9
11	22	17	19	17	75	18.75	5
12	9	8	10	13	40	10.00	5
13	8	14	21	25	68	17.00	17
14	13	23	18	20	74	18.50	10
15	1	12	14	7	34	8.50	13
16	4	15	19	19	57	14.25	15
17	19	22	24	18	83	20.75	6
18	17	24	20	21	82	20.50	7
19	26	23	27	22	98	24.50	5
20	28	19	17	8	72	18.00	20
21	24	13	18	24	79	19.75	11
22	27	21	17	4	69	17.25	23
23	14	5	16	17	52	13.00	12
24	17	19	24	18	78	19.50	7
25	15	8	14	19	56	14.00	11
TOTAL					1700	425.00	305

La representa la medida de los valores de R, o
=
Sustituyendo los valores de y (n = 4, tabla 16-3) en la fórmula (16-1b):
*De la ecuación de razón , s = . La mejor estimación de es . Por tanto,
(o la estimación de s) =
Sustituyendo el valor de s por en la fórmula de 3s = 3 (dato original).
Entonces
3
Si =. La estimación de 3spuede ser escrita:
De todo esto entonces,
UCL= 25.9
LCL
Recordar que los valores originales de UCL y LCL
3s(intervalo de confianza).

El proceso está bajo control según la gráfica.
5.2.2 GRÁFICA DE R.
La gráfica de R se usa para mostrar la variabilidad o dispersión de la calidad producida por un proceso dado. En general, el procedimiento para construir una gráfica R es similar al de la gráfica . Los valores requeridos para construir la gráfica R son:
1. El recorrido de cada muestra, R.
2. La medida de los recorridos de las muestras,
3. El límite de control superior (UCL_R) y el límite de control inferior (LCL_R) para la gráfica R..
La media de los recorridos de las muestras es usada como la estimación de la media de los recorridos de todas las muestras posibles de mismo tamaño n extraídas del proceso (población). Por lo tanto,

UCL R = + 3s R
LCL R = - 3s R
Donde
s_R = el error estándar del recorrido (o la desviación estándar de los recorridos de todas las muestras posibles del mismo tamaño n extraídas de una población dada).

En la práctica, es más conveniente calcular los límites de control, usando los valores que se proporcionan en la Tabla 16-3, de acuerdo con los diferentes tamaños de muestra (n = 2 a 20). Cuando se usan los valores tabulados, los dos límites pueden ser escritos:
UCL R =
LCL R =
El límite de control inferior para muestras de tamaño 6 o menos, puede llegar a ser negativo. Puesto que el valor del recorrido no puede ser negativo, en tal situación el límite de control inferior se sitúa en cero.
Ejemplo 3. Se refiere al ejemplo 2 y a la tabla 3. Construir la gráfica R.
Solución.
1. El recorrido de cada muestra, R. Ver columna (4) de la tabla 3.
2. La media de los recorridos de las muestras, .
=
3. Los límites de control superior e inferior. Usar los valores para n = 4 de la tabla 16-3 y fórmula (16-2).
UCL_R = 2.282(12.20)=27.8404 = 27.8
LCL_R = 0(12.20) = 0
ELECCIÓN DE LA GRÁFICA DE Y LA GRÁFICA DE R.
La elección entre la gráfica de y la gráfica de R es un problema administrativo. La gráfica de se usa para mostrar la calidad de los promedios de las muestras extraídas de un proceso dado, mientras que la gráfica de R se usa para mostrar la calidad de las dispersiones (variabilidades) de las muestras. Si la presencia de una causa asignable mostrara en ambos tipos de gráficas que el proceso está fuera de control, solamente un tipo de gráfica sería probablemente suficiente para propósitos de control estadístico de la calidad. Por otra parte, es posible que el incremento de dispersión de control en la gráfica R, pero se mantiene el proceso bajo control según la gráfica . Inversamente, el incremento de una media muestral puede ocasionar que el proceso esté fuera de control en la gráfica de , pero se conserve el proceso bajo control según la gráfica de R. Bajo tales circunstancias, la administración puede desear conservar ambos tipos de gráficas de control.
En la práctica, deberán construirse primero las gráficas R. Si la gráfica R indica que la dispersión de la calidad del proceso está fuera de control generalmente, es mejor no construir una gráfica de hasta que la dispersión de la calidad esté bajo control. Nótese que el cálculo de los límites de control de una gráfica de depende del valor de .
5.2.3 GRÁFICA DE s. Se sugiere hacer el problema de la pág. 125 del libro Control de Calidad de Besterfield.
5.3 GRÁFICAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS.
Las más comunes son:
1) Gráfica p ( fracción de defectuosos).
2) Gráfica np (número de defectuosos).
3) Gráfica c (número de defectos).
4) Gráfica u (número de defectos por unidad).
La forma de construirlas es muy similar a las de variables.

Gráfica p (p= fracción de defectuosos de una muestra).
Se requieren los siguientes valores para construir una gráfica p.
1. La fracción defectuosa de cada muestra, p.
p=
El tamaño de n aquí será mayor que en el caso de variables.
Porque, por ejemplo: Si solamente 0.1% del proceso es defectuoso, el tamaño de la muestra debe ser 1000 elementos si esperamos encontrar un promedio de un defectuoso por muestra.
Si por cada 1000 – 1 defectuoso, entonces n = 0.1%
Ya que el 10 % de 1000 = 100
“ “ 1 % “ = 10, por lo tanto,
Sin embargo, si medimos menos de 1000 elementos, digamos 200 elementos, como una muestra extraída del proceso y registramos las medidas mediante número de unidades (variables), ciertamente tendremos una buena indicación del estudio de la muestra para la calidad del proceso.
2. La fracción promedio de defectuosos de las muestras, .

3. Límite de control superior (UCL p) y límite de control inferior (LCL p) para la gráfica p.
UCL p = P + 3s _p
LCL p = P - 3s _p

p= la verdadera fracción defectuosa del proceso (población)
s _p= , el error estándar de p.

El valor de P es frecuentemente desconocido. Cuando el proceso está bajo control, es usualmente empleado como la estimación de P.
La estimación de s _p= es, por tanto
puesto que Q = 1 – P.

Cuando se usan los valores estimados, los límites pueden ser escritos:
UCL p =
LCL p =

El tamaño de muestra (n) para una gráfica p es preferible que sea constante; es decir, n deberá ser el mismo para todas las muestras incluidas en la gráfica.
CONSTRUCCIÓN DE UNA GRÁFICA p PARA MUESTRAS DE TAMAÑO CONSTANTE.
Ejemplo 4. Ciertas partes de televisión, producidas por un proceso, son inspeccionadas mediante un método al azar para una única característica de calidad. Los resultados de la inspección están dados en las columnas (1), (2) y (3) de la tabla 16-5. Construir una gráfica p.

TABLA 4
Resultados de la inspección de partes de televisión (con cálculos para la gráfica p

(1) Muestra número	(2) Número de unidades inspeccionadas n	(3) Número de defectuosos np	(4) Fracción de defectuosos p
1	200	16	0.08
2	200	14	0.07
3	200	8	0.04
4	200	20	0.10
5	200	10	0.05
6	200	34	0.17
7	200	20	0.10
8	200	16	0.08
9	200	18	0.09
10	200	12	0.06
11	200	36	0.18
12	200	20	0.10
13	200	22	0.11
14	200	18	0.09
15	200	26	0.13
16	200	8	0.04
17	200	16	0.08
18	200	20	0.10
19	200	22	0.11
20	200	14	0.07
21	200	6	0.03
22	200	12	0.06
23	200	22	0.11
24	200	38	0.19
25	200	12	0.06
TOTAL	5000	460	2.31

SOLUCIÓN.
1. La fracción de defectuosos de cada muestra (p) aparece en la columna (4).
Ej.
p =
2. La fracción promedio de defectuosos:

3. Los límites de control superior e inferior:
UCL p =
LCL p =

Construir la gráfica y definir las conclusiones.


* Construcción de una gráfica p para muestras de tamaño variable.

Resolver el ejemplo 5 del libro de Stephen Shao.



Gráfica np (np = número de defectuosos de una muestra).
Una gráfica np presenta el número real de defectuosos encontrado en cada muestra. La gráfica se aplica solamente cuando las muestras a ser incluidas son de tamaño constante. Cuando el tamaño de muestra varía, deberá usarse la gráfica de control para la fracción de defectuosos (gráfica p) para mostrar la calidad del producto de un proceso.
· Valores requeridos para contruir una gráfica np:
1) El número de defectuosos de cada muestra, np.
2) El número promedio de defectuosos por muestra de un tamaño constante, .
=
Si es conocido, entonces:
= (n) () =
3) Límite de control superior (LCL np) y límite de control inferior (LCL np) para una gráfica np.
UCL np = nP +
LCL np = nP -

Donde:
P = la verdadera fracción de defectuosos del proceso (población).
nP = el número medio de defectuosos por muestra, basado en todas las muestras posibles de tamaño n del proceso.
, el error estándar de np derivado de la fórmula ; donde
Cuando el proceso está bajo control, es usualmente usada como la estimación de P. Cuando P se reemplaza por , los límites de control pueden ser escritos:
UCL np =
LCL np =
Ejemplo 6. Se refiere al ejemplo 4 y tabla 16-5, el cual da 25 muestras de tamaño constante de 200 elementos. Calcular los valores requeridos para construir una gráfica np.
Solución.
1. El número de defectuosos de cada muestra, np, se presenta en la columna (3) de la tabla 16-5.
2. El número medio de defectuosos por muestra:

= =
ó, = 200 (0.092) = 18.4.
3. Los límites de control superior e inferior.
UCLnp = +
LCLnp = -
La gráfica p y la gráfica np proporcionan la misma información con relación al proceso; es decir, está bajo o fuera de control. Sin embargo, cuando el tamaño de la muestra es constante, la gráfica np tiene ciertas ventajas sobre la gráfica p. la gráfica np no requiere el cálculo de los valores de p para todas las muestras. El número real de defectuosos, marcado sobre la gráfica np, es más fácilmente comprensible que las marcas relativas a las fracciones en una gráfica p.
GRÁFICA c (c = número de defectos por unidad [muestra]).
Las muestras incluidas en una gráfica c son productos individuales de tamaño constante. El número de defectos en cada producto, representado por la letra c, se cuenta y registra como el valor de una muestra.
Un defecto es diferente de un defectuoso.
Al aplicar una gráfica c, la distribución de posibilidad de los números de defectos de un producto (valores de c) de un proceso, deberá seguir el patrón de la distribución de Poisson (pág. 292, Stephen Shao).
Valores requeridos para construir una gráfica c:
1. El número de defectos en cada muestra, c.
El número de defectos se expresa en un número entero. Las muestras se marcan en una gráfica c de acuerdo a la escala c (vertical) y el orden de los números de la muestra en la escala horizontal.
2. El número promedio de defectos de las muestras, .

3. Límite de control superior (UCL c) y límite de control inferior (LCL c) para una gráfica c.
UCL c =
LCL c =
Donde
= el verdadero número promedio de defectos por producto ( o unidad muestral) del proceso.
= el error estándar de c (o la desviación estándar de la distribución de Poisson. Ver fórmula (10-12), pág 297.
s = (10-12)

s = desviación estándar de la distribución de Poisson.

El valor de es usualmente desconocido. Cuando el proceso está bajo control, es usado como una estimación de . Cuando se usa el valor estimado, los límites pueden ser escritos:
UCL c = s =
LCL c =

Ejemplo7. Supongamos que 25 botellas de vidrio para leche de 10 oz. son seleccionadas al azar de un proceso. El número de burbujas de aire (defectos) observado en las botellas, está dado en la tabla 16-7.
Calcular los valores requeridos para construir una gráfica c.
Solución.
1. El número de defectos (c) para cada muestra (botella). Los valores de c están dados en la tabla 5.
TABLA 5
DEFECTOS OBSERVADOS EN 25 BOTELLAS DE VIDRIO PARA LECHE
(c = NÚMERO DE BURBUJITAS DE AIRE (DEFECTOS) EN CADA BOTELLA)

Botella número (orden de la muestra)	Defectos c	Botella número (orden de la muestra)	Defectos c	Botella número (orden de la muestra)	Defectos c
1	8	10	4	19	9
2	7	11	5	20	8
3	6	12	6	21	7
4	5	13	7	22	6
5	3	14	3	23	5
6	4	15	2	24	4
7	8	16	4	25	3
8	5	17	10	TOTAL	144
9	4	18	11

2. El número medio de defectos,

3. Límites de control superior e inferior.


o registrado como cero, puesto que el número de defectos no puede ser negativo.
Al observar cada uno de los valores de c en la tabla 5, se puede ver todos son inferiores a 12.96 defectos, el valor de UCLA. Por lo tanto, el proceso está bajo control estadístico. En consecuencia, se obtuvo la naturaleza del proceso sin tener la gráfica de c; sin embargo, debe aceptarse que es muy útil observar el comportamiento de cada valor con respecto a los demás, pero de manera gráfica.
BIBLIOGRAFÍA:
1. Besterfield, Dale H., 1995. Control de Calidad. Cuarta Edición. Prentice Hall Hispanoamericana. 4º Cap., México.
2. Shao, Stephen P., 1988. Estadística para economistas y administradores de empresas. Vigésima Edición, Edit.Herrero Hnos., Cap. 16, México.
3. González, Carlos, 1998. Control de Calidad.
4. Feigenbaum, Armand V. Control Total de Calidad.